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历法中的数学

数学自古至今时时充斥于我们生活的角角落落,并对我们的生产和生活产生重大影响。天文中的历法同样也蕴含着数学的玄机。

我们现在使用的历法为国际通用的公历,又称阳历。公历有平年和闰年之分,平年有365天,其中二月有28天,闰年366天,其中二月有29天。公历中的闰法对闰年是这样规定的“四年一闰,百年少一闰,四百年加一闰”。为什么公历中要安排复杂的闰法呢?

公历中 闰年的算法

地球绕太阳一圈需时365天5时48分46秒,以天为单位化成分数即10463/43200

辗转相除法

将分数部分 10463/43200 展成连分数

渐进分数依次为

现在通行的办法是每四年一闰,每逢百年免闰一次,而每逢四百年又恢复一闰。

第一个渐近分数 1/4 告诉我们每四年一闰。

第三个渐近分数 8/33 告诉我们每三十三年八闰,即每九十九年二十四闰,为方便计,定为每一百年二十四闰,这就是逢百不闰的道理。

每四百年间,闰年的总数该为 3 x 31 + 4 x 1 = 97,若每百年 24 闰则 400 年有 96 闰,比实际需要的少了一次,故需再作调整,这就是逢 400 年恢复闰年的理由。

月相

其实这是由地球围绕太阳公转决定的。我们知道,地球绕太阳公转一圈的时间为365天5时48分46秒,而平年仅有365天,剩余的5时48分46秒是二者之间的误差,需要折算成天数,通过加闰的办法,即在二月份加一天,就可将积累的误差吸收掉。以天为单位,用分数的形式表现这个误差为:

a=5/24+48/24×60+46/24×60×60=10463/43200≈0.2421991。

从这个分数算式可以看出,在43200年中,需要安排10463个闰年,而消除误差最好是均匀加闰,但却不便操作和记忆。如果我们用连分数即可提供方便记忆的闰法。

运用辗转相除法很容易得到误差a的连分数表示式为:a=10463/43200=1/4+1/7+1/1+1/3+1/5+1/64。

由连续式可以看出,第一个渐进分数a1=1/4=0.25,说明每隔四年就应该加一天,这就是所谓的“四年加一闰”。由于它是个近似值,而不是精确值,因此还需要修正。第三个渐进分数为a3=1/4+1/7+1/1=8/33≈0.2424242……说明每隔33年就需要加8天,每隔99年需加24天就比较与实际接近。因此100年(与99近似)中应加24天,而不是加25天。这就是“百年少一闰”。如果始终按每100年加24天,那么43200年就应加432x24=10368

(天)。

由a=10463/43200可以知道,经过43200年,就应该加10463天,这就比实际少加了95天,所以,闰法又有了“四百年加一闰”的修正。但是,按照这种规定,就可以算出43200年共加了10463天,比实际又多增加了13天,这又意味着每隔3323年就又多加了一天。而这些还需做进一步的修正。

从以上的介绍可以看出,现在使用的历法,其精确度是相当高的,但仍需要进行随时修正,而这一切,均与数学密不可分。

农历中的“十九年七闰”

中国传统历法

中国从古代一直沿用的历法为农历,它是由月球绕地球公转决定的。农历中的一个月,称为“朔望月”,约为29.5306天。由于地球绕太阳公转一周需要365.2422天,因此在一个公历年中应该设置“农历月”的个数为:365.2422/29.5306=12+10.8750/29.5306

从这个算式可以看出,如果每个农历年均设有12个月,那么就会产生a=10.8750/29.5306=0.3682621的误差。要想把这种积累的误差消除掉,就必须在农历年份中增加一个月,这个月就是闰月,这个年就称为闰年。那么,怎样增插闰月呢?这就需要先求出a的连分数表示式:

a=1/2+1/1+1/2+1/1+1/1+1/16+1/1+1/5+1/2+1/6+1/2+1/2

从上面的表示式可以看出,它的前六个逐次渐近分数依次为:a1=1/2≈0.5,a2=1/3≈0.3333333,a3=3/8≈0.375,a4=4/11≈0.3636364,a5=7/19≈0.3684211,a6=116/315≈0.368254。由此可得,a2<a4<a6<a<a5<a3<a1。这表明这些渐进分数是从左、右两个方向向a的真值逼近的。

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