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简谐运动具有对称性,因此描述简谐运动的一些物理量也具有对称性,若在解决简谐运动问题中能灵活运用这一点特点,常可使解答更简捷。

1、用时间的对称性

例1、如图1所示,一质点在平衡位置O点两侧做简谐振动,在它从平衡位置O出发向最大位移A处运动过程中经0.15s第一次通过M点,再经0.1s第2次通过M点。则此后还要经多长时间,才能第3次通过M点,该质点振动的频率为多大?

解析:由于质点从M→A和从A→M的时间是对称的,结合题设条件可知质点从M→A所需时间为

,从O→A的时间为

,所以质点的振动周期为T=0.8s,频率

根据时间的对称性可知M→O与O→M所需时间相等,为0.15s,所以质点第3次通过M点所需时间为

2、用加速度的对称性

例2、如图2所示,轻弹簧(劲度系数为k)的下端固定在地面上,其上端和一质量为M的木板B相连接,在木反B上又放有一个质量为m的物块P。当系统上下振动时,欲使P、B始终不分离,则轻弹簧的最大压缩量为多大?

解析:将B、P和弹簧看作一简谐振子,当P和B在平衡位置下方时,系统处于超重状态,P不可能和B分离,因此P和B分离的位置一定在平衡位置上方最大位移处(即弹簧的弹力为零的位置),故P和B一起运动的最大加速度

。由加速度的对称性可知,弹簧处于压缩量最大时(设为

)加速度也为

。所以由牛顿第二定律有

解得

3、用速度的对称性

例3、如图3所示是一水平弹簧振子在5s内的振动图象。从图象中分析,在给定的时间内,以0.5s为起点的哪段时间内,弹力所做的功为零。

解析、由速度的对称性可知,图3中与0.5s具有相同速度大小的时刻为1.5s、2.5s、3.5s、4.5s。结合动能定理可知,从0.5s到以上各时刻所对应的时间内弹力所做的功均为零。

4.、用回复力的对称性

例4、如图4所示,在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m(M≥m)的A、B两物体,箱子放在水平地面上,平衡后剪断A、B间细线,此后A将做简谐运动。当A运动到最高点时,木箱对地面的压力为(    )

A. Mg

B. 

C. 

D. 

解析:剪断细线后的瞬间,弹簧对A的弹力为kx=2mg,所以A受到向上的合外力(回复力)为mg。当A运动到上方最大位移处时,由于简谐运动的回复力的对称性,A将受到竖直向下的合外力(回复力),其大小仍为mg,即此时弹簧中没有弹力,所以木箱对地面的压力为Mg。选项A正确。

▍ 来源:综合网络

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